je vous prie de m'aider pour résoudre : X et y deux nombres réels tel que x = y²- y +1 et y = x²- x + 1 Déterminer la valeur de x ​

bonjour

x = y²- y +1 (1) et y = x²- x + 1 (2)

(2) y = x²- x + 1

on remplace y par x² - x + 1 dans (1)

on obtient

x = (x²- x + 1)² - (x²- x + 1) + 1

                         • équation du second degré en x  

x = (x²- x + 1)² - (x²- x + 1)*1 + 1            équivaut à

x = (x²- x + 1)[(x² -x + 1) - 1] + 1           (mise en facteur de (x² - x + 1)

x = (x² - x + 1)(x² - x) + 1                          (on développe)

x = x⁴ - x³ - x³ + x² + x² - x + 1  

0 = x⁴ - 2x³ + x² + x² -2x + 1                    (transposition de x)

                  • on factorise l'expression du 1er membre de

x⁴ - 2x³ + x²  +  x² - 2x + 1 = 0

x²(x² - 2x + 1) + (x² - 2x + 1) = 0

x²(x - 1)² + (x - 1)²*1 = 0

(x - 1)²(x² + 1) = 0  <=>   x² + 1 = 0   ou  (x - 1)² = 0

x² + 1 = 0 n'a pas de solution

(x - 1)² a une seule solution qui est 1

réponse : la valeur de x est 1