Bonjour j'aimerais avoir de l'aide pour mon exo svp merci d'avance

Réponse :

a) calculer les coordonnées de vecteurs AB et DC  au lieu de CD

    vec(AB) = (3+9 ; 5-7) = (12 ; - 2)

    vec(DC) = (8+4 ; -2 -0) = (12 ; - 2)

b) en déduire la nature de ABCD

    on a;  vec(AB) = vec(DC)  donc ABCD est un parallélogramme

2) a) calculer les coordonnées de M et N

M(x ; y) milieu de (AB)  donc  x = (3-9)/2 = - 6/2 = - 3

                                                y = (5+7)/2 = 12/2 = 6

donc les coordonnées de M sont : (- 3 ; 6)

N(x ; y) tel que vec(DN) = 1/2vec(DC)

vec(DN) = (x + 4 ; y)

vec(DC) = (12 ; - 2)  ⇒  1/2vec(DC) = (6 ; - 1)

x + 4 = 6  ⇔ x = 2   et y = - 1

les coordonnées de N  sont : (2 ; - 1)

b)  calculer le déterminant des vecteurs MD et BN

vec(MD) = (- 4 + 3 ; 0 - 6) = (- 1 ; - 6)

vec(BN) = (2 - 3 ; - 1 - 5) = (- 1  ; - 6)

dét(vec(MD) ; vec(BN)) = xy' - x'y = - 1*(-6) - (- 1)*(-6) = 6 - 6 = 0

c) calculer la norme de vecteurs  BM ; BN et MN

vec(BM) = (- 3 - 3 ; 6 - 5) = (- 6 ; - 1) ⇒ BM² = (-6)² + (- 1)² = 36 + 1 = 37

donc  BM = √37

vec(BN) = (- 1  ; - 6)  ⇒ BN² = 37  ⇒ BN = √37

vec(MN) = (2+3 ; -1-6) = (5 ; - 7) ⇒ MN² = 5² + (-7)² = 25+49 = 74

MN = √74

d) montrer que MBN est un triangle rectangle

BM² + BN² = 37 + 37 = 74

MN² = 74

on a  BM²+BN² = MN²  donc d'après la réciproque du th.Pythagore, le triangle MBN est rectangle en B

e) en déduire la nature du quadrilatère MBND

 puisque BM = BN  et  l'angle MBN est droit   donc  MBND est un carré  

Explications étape par étape :