Bonjour j'aurais vraiment besoin d'aide pour cet exercice même si c'est pour une question en math s'il vous plaît. Mercii d'avance pour l'aide^^ ABCD est un car
Question
ABCD est un carré, M et N sont des points des segments [AB] et [AD] tels que AM=AN, le point I est le milieu du segment [DM].
Faire une figure.
Le but de l’exercice est de démontrer par deux méthodes différentes que les droites (BN) et (AI) sont perpendiculaires.
Première méthode avec les propriétés du produit scalaire
1) Prouver l’égalité AM + AD ⃗ = 2 AI ⃗ .
2) Calculer le produit scalaire 2 AI ⃗. BN ⃗, puis conclure.
Deuxième méthode dans un repère orthonormé
On se place dans le repère orthonormé (A ; AB ⃗ ; AD ⃗) et on note x l’abscisse du point M.
1) Déterminer les coordonnées des points A, B, D, M, N et I.
2) Calculer le produit scalaire AI.BN , puis conclure
2 Réponse
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1. Réponse danielwenin
Réponse :
La réponse en fichier joint.
Bonne journée
Explications étape par étape :
2. Réponse taalbabachir
Réponse :
1) prouver l'égalité vec(AM) + vec(AD) = 2vec(AI)
vec(AM) = vec(AI) + vec(IM) relation de Chasles
vec(AD) = vec(AI) + vec(ID) // // //
............................................................
vec(AM) + vec(AD) = vec(AI) + vec(IM) + vec(AI) + vec(ID)
= 2vec(AI) + vec(IM) + vec(ID)
or vec(IM) + vec(ID) = 0 car I est le milieu du segment (DM)
donc vec(AM) + vec(AD) = 2vec(AI)
2) calculer le produit scalaire 2vec(AI).vec(BN) puis conclure
2vec(AI).vec(BN) = (vec(AM) + vec(AD).(vec(BA) + vec(AN))
= vec(AM).vec(BA) + vec(AM).vec(AN) + vec(AD).vec(BA) + vec(AD).vec(AN)
= - vec(AM).vec(AB) + vec(AM).vec(AN) + vec(AD).vec(BA) + vec(AD).vec(AN)
= - (AM) x AB x cos 0° + (AM) x AN x cos 90° + (AD) x BA cos 90° + AD x AN x cos 0°
2vec(AI).vec(BN) = - 1 + 0 + 0 + 1 = 0
on en déduit que les droites (AI) et (BN) sont perpendiculaires
2ème méthode : repère orthonormé (A , AB , AD) et on note x l'abscisse du point M
1) déterminer les coordonnées des points A, B, D, M, N et I
A(0 ; 0) ; B(1 ; 0) ; D(0 ; 1) ; M(x ; 0) ; N(0 ; x) ; I(x/2 ; 1/2)
2) calculer le produit scalaire AI.BN puis conclure
vec(AI) = (x/2 ; 1/2)
vec(BN) = (0 - 1 ; x) = (- 1 ; x)
XX' + YY' = x/2)*(- 1) + 1/2)* x = 0
donc les droites (AI) et (BN) sont orthogonaux
Explications étape par étape :
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