Bonsoir pouvez vous m'aider s'il vous plaît , j'y comprends rien... On considère la fonction f(x) = 2x/x²-4 définie sur ]-infini;-2[U]-2;2[U]2;+infini[ 1) Montr

Réponse :

Bonjour, f(x)=2x/(x²-4)  avec des (  ) car tu  as remplacé le trait de fraction horizontal par un slash.

Explications étape par étape :

f(x) est une fonction quotient ,elle n'est donc pas définie pour les valeurs qui annulent le diviseur soient x=-2 et x=2 d' où le Df =R-{-2;+2}

1) limites en -oo et +oo

si x tend vers -oo , f(x) tend vers -oo/(-oo)²=0-  f(x) tend vers 0-

si x tend vers +oo,  f(x) tend vers +oo/(+oo)²=0+   f(x) tend vers 0+

La droite d'équation y=0 (soit l'axe des abscisses) est une asymptote horizontale.

2)si x tend vers 2 (avec x<2)   f(x) tend vers 4/0- =-oo

 si x tend vers 2(avec x>2)   f(x) tend vers 4/0+  =+oo

la droite d'équation x=2 est une asymptote verticale

3) on a le même cas si x tend vers-2

si x tend vers-2(avec x<-2) f(x) tend vers -4/0+=-oo

si x tend vers -2(avec x>-2), f(x) tend vers -4/0-=+oo

La droite d'équation x=-2 est une asymptote verticale.

4)Pour dresser le tableau de variations de f(x) on étudie le signe de sa dérivée

f(x) est une fonction quotient ,type u/v sa dérivée est f'(x)=(u'v-v'u)/v²

ce qui donne   u=2x    u'=2

                         v=x²-4    v'=2x

f'(x)=[2(x²-4)-2x*2x]/(x²-4)²=(-2x²-8)/(x²-4)=-2(x²+4)/(x²-4)²

quelque soit x appartenant à Df, f'(x) est toujours <0 donc f(x) est décroissante.

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x     -oo                     -2                           2                             +oo

f'(x)                -                         -                                     -

f(x)  0-         D       -oo II +oo       D     -oo II +oo           D            0+

"II"  symbolise les valeurs interdites

5)  on note que f(-x)=-f(x) la représentation graphique est  donc symétrique par rapport à l'origine du repère.