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Réponse en explications étape par étape :

# Exercice : ABCD un rectangle tel que : AB = 6 cm et BC = 4 cm. On pose : AM = BN = CP = DQ = x (en cm) :

- Questions :

1. On suppose dans cette question que AM = 3 cm :

a. Calculer les aires des triangles AMQ et BMN :

- Le triangle AMQ :

Sachant que l'aire d'un triangle est : (base * hauteur)/2.

Soit donc : (b * h)/2.

Et donc : [AM] est la base du triangle AMQ, [AQ] sa hauteur.

On a : AM = x = 3 cm.

On a ABCD un rectangle donc : BC = AD = 4 cm.

On a : Q ∈ (AD), et AD = AQ + QD, or, DQ = AM = x = 3 cm.

Alors : AQ = AD - QD

           AQ = 4 - 3

           AQ = 1 cm

Donc : Aire(AMQ) = (AM * AQ)/2

           Aire(AMQ) = (3 * 1)/2

           Aire(AMQ) = 3/2

           Aire(AMQ) = 1,5 cm²

- Le triangle BMN :

Sachant que l'aire d'un triangle est : (base * hauteur)/2.

Soit donc : (b * h)/2.

Et donc : [BN] est la base du triangle BMN, [BM] sa hauteur.

On a : BN = x = 3 cm.

On a ABCD un rectangle donc : AB = DC = 6 cm.

On a : M ∈ (AB), et AB = AM + MB, or, AM = BN = x = 3 cm.

Alors : MB = AB - AM

           MB = 6 - 3

           MB = 3 cm

Donc : Aire(BMN) = (BN * MB)/2

           Aire(BMN) = (3 * 3)/2

           Aire(BMN) = 9/2

           Aire(BMN) = 4,5 cm²

b. En déduire l'aire du quadrilatère MNPQ :

- L'aire du rectangle ABCD :

Aire(ABCD) = L * l

Aire(ABCD) = AB * BC

Aire(ABCD) = 6 * 4

Aire(ABCD) = 24 cm²

- L'aire des triangles AMQ et CPN :

Aire(AMQ) = Aire(CPN) = 1,5 cm²    (2 * Aire(AMQ))

- L'aire des triangles BMN et DPQ :

Aire(BMN) = Aire(DPQ) = 4,5 cm²   (2 * Aire(BMN))

- L'aire du quadrilatère MNPQ :

Aire(MNPQ) = Aire(ABCD) - (2 * Aire(AMQ) + (2 * Aire(BMN))

Aire(MNPQ) = 24 - (2 * 1,5 + 2 * 4,5)

Aire(MNPQ) = 24 - (3 + 9)

Aire(MNPQ) = 24 - 12

Aire(MNPQ) = 12 cm²

Voilà