Bonjour j'ai un DM sur les nombres et fonctions dérivé mais je ne comprends pas cet exos pourriez vous m'expliquer svp ? Le raccordement de deux tronçons rectil
Mathématiques
Felixlove
Question
Bonjour j'ai un DM sur les nombres et fonctions dérivé mais je ne comprends pas cet exos pourriez vous m'expliquer svp ?
Le raccordement de deux tronçons rectilignes d'une route ou d'une voie ferrée se fait à l'aide d'une courbe permettant d'assurer les raccords sans changement brutal de direction. On modélise les deux portions de ligne droite dans un repère (O, 1, j) avec pour unité 100 m par :
Le segment [AO] avec A(-1;0)
Le segment [BC] avec B(3;2) et C(5;6) .
1. Faire une figure
2. On modélise le raccord entre 0 et B par la courbe C_{f} d'équation
f(x) = a * x ^ 3
a. Déterminer a pour que les raccords s'effectuent en O et en B.
b. Comment traduire mathématiquement que ces raccords se font sans changement brutal de direction ? Est-ce le cas ?
Le raccordement de deux tronçons rectilignes d'une route ou d'une voie ferrée se fait à l'aide d'une courbe permettant d'assurer les raccords sans changement brutal de direction. On modélise les deux portions de ligne droite dans un repère (O, 1, j) avec pour unité 100 m par :
Le segment [AO] avec A(-1;0)
Le segment [BC] avec B(3;2) et C(5;6) .
1. Faire une figure
2. On modélise le raccord entre 0 et B par la courbe C_{f} d'équation
f(x) = a * x ^ 3
a. Déterminer a pour que les raccords s'effectuent en O et en B.
b. Comment traduire mathématiquement que ces raccords se font sans changement brutal de direction ? Est-ce le cas ?
1 Réponse
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1. Réponse veryjeanpaul
Réponse :
Explications étape par étape :
il faut que les raccordements en O et en B se fassent selon les tangentes, c'est dire que la droite (OA) doit être tangente à la courbe en 0 et que la droite (BC) doit être tangente à la courbe en B
Courbe f(x)=ax³ dérivée f'(x)=3ax²
Coefficient directeur de la droite (AO) a=0
Coefficient directeur de la droite (BC) a'=(6-2)/(5-3)=4/2=2
il reste à résoudre le système f' (0)=0 soit 3a (0)²=0 (indépendante de a)
f'(3)=2 soit 3a(3²)=2 donc a=2/27
donc f(x)=(2/27)x³