Bonjour pouvez vous m’aider s’il vous plaît pour le polynôme de 3 et la généralisation merci

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

Tu calcules P(1) et tu trouves zéro. OK ?

2)3)

Tu développes :

(x-1)(ax²+bx+c) et à la fin , tu trouves :

(x-1)(ax²+bx+c)=ax³+(b-a)x²+(c-b)x-c

Par identification avec : -2x³+6x²+26x-30 , on a :

a=-2

b-a=6 ==>b=6+a

b=4

c-b=26 ==>c=26+b

c=30

-c=-30

c=30

4)

Donc :

P(x)=(x-1)(-2x²+4x+30)

On résout maintenant :

-2x²+4x+30=0

Δ=4²-4(-2)(30)=256

√256=16

x2=(-4+16)/-4=-3  et x3=(-4-16)/-4=5

Avec x1=1 , on a les 3 racines.

Généralisation :

1)

On a donc P(α)=0 puisque α est racine de P(x).

Et P(α)=aα³+bα²+cα+d

On peut donc écrire :

P(x)=P(x)-P(α) puisque P(α)=0

2)

P(x)=ax³+bx²+cx+d - aα³-bα²-cα-d

P(x)=a(x³-α³)+b(x²-α²)+c(x-α)

3)

On sait que :

x³-α³=(x-α)(x²+xα+α²)

et

x²-α²=(x-α)(x+α)

Donc :

P(x)=a(x-α)(x²+xα+α²)+b(x-α)(x+α)+c(x-α)

P(x)=(x-α)[a(x²+xα+α²)+b(x+α)+c]