Bonsoir , je ne comprends pas comment démontrer les égalités dans l’exercice 9. C’est le chapitre sur le produit scalaire en 1ère spé. Merci d’avance.

Réponse :

1) exprimer CI et CA en fonction de a

d'après le th.Pythagore  on a;  CI² = (a/2)² + a² = a²/4 + a² = 5a²/4

⇒ CI = a√5/2

CA² = a² + a² = 2 a²  ⇒ CA = a√2

2) démontrer que vec(CA) + vec(CB) = 2vec(CI)

vec(CA) = vec(CI) + vec(IA)     relation de Chasles

vec(CB) = vec(CI) + vec(IB)

...............................................................

vec(CA) + vec(CB) = 2vec(CI) + vec(IA) + vec(IB)   or  vec(IA) + vec(IB) = 0  car I milieu de (AB)

donc vec(CA) + vec(CB) = 2vec(CI)

3) en déduire l'expression de vec(CI).vec(CA) en fonction de a

vec(CI).vec(CA) = 1/2(CI² + CA² - ||CI - CA||²)

                          = 1/2(5/4) a² + 2 a² - ||CI - CA||²)

or - ||CI - CA||² = (CI + AC)² = (AC + CI)² = AI² = a²/4

                = 1/2(5/4) a² + 2 a² - a²/4)

vec(CI).vec(CA) = 3/2) a²

puis en déduire une mesure à 0.1° près de l'angle ^ACI

vec(CI).vec(CA) = CI x CA x cos ^ACI

                    3/2)a²  = a√5/2 x a√2 cos ^ACI

                     3/2 = √10/2) cos ^ACI

cos ^ACI = 3/√10  ⇒ arccos (3/√10) ≈ 18.4°

Explications étape par étape :