106 20 min Raisonner Calcuter Communiquer On considère la fonction f définie sur R par : 3 f(x) = 1+e-2x On a tracé, dans le plan muni d'un repère orthogonal (0

Réponse :

bonsoir

Explications étape par étape :

a) f(x) est une fonction quotient dont le diviseur est toujours >0 par conséquent f(x) est définie et continue sur R.

b) Dérivée:  f'(x)=-(-2e^-2x)*3/(1+e^2-x)²=(6e^-2x)/(1+e^-2x)²

cette dérivée est toujours >0 donc f(x) est croissante

c) Limites

si x tend vers -oo, 1+e^-2x tend vers +oo donc f(x) tend  vers 3/+oo=0+

si x tend vers +oo , e^-2x tend vers 0 donc f(x) tend vers 3/1=3

les droites d'équation y=0 et y=3 sont des asymptotes horizontales.

d) Contenu de la monotonie de f(x) sur R et des valeurs aux bornes 0+ et 3 d'après le TVI, f(x)=2,999 admet une et une seule solution. "alpha"

e) calcul de "alpha" sans encadrement

il faut résoudre l'équation f(x)=2,999

soit 3/(1+e^-2x)=2,999

produit en croix   3= 2,999(1+e^-2x)

1+e^-2x=3/2,999

e^-2x=(3-2,999)/2,999=0,001/2,999

on passe par le ln

-2x=ln0,001-ln2,999

x=(ln0,001-ln2,999)/(-2)=4,00301 (environ)

vérification:3/(1+e^-8)=2,99899