DM Urgent.(19points à gagner) 3 droites (d1), (d2) et (d3) sont concourantes en un point O. A et A' sont 2 points de (d1), B et B' de (d2) et C et C' de (d3). O
Mathématiques
maelysScientist
Question
DM Urgent.(19points à gagner)
3 droites (d1), (d2) et (d3) sont concourantes en un point O.
A et A' sont 2 points de (d1), B et B' de (d2) et C et C' de (d3).
On suppose que, les droites (AB) et (A'B') sont sécantes en I, les droites (AC) et (A'C') sont sécantes en J et les droites (BC) et (B'C') sont sécantes en K.
On cherche à démontrer le théorème de Desargues, c'est-à-dire que les points I, J et K sont alignés.
(OA, OA', AA', OB, OB', BB', ... sont des vecteurs)
1) Justifier l'existence de 3 réels a, b et c tels que: OA'= aAA', OB'= bBB' et OC'= cCC'
2) Prouver que avec l'aide de la question 1: aOA + (1-a)OA'= bOB + (1-b)OB' = cOC + (1-c)OC' = vecteur nul
3) On souhaite démontrer que les réels a,b et c sont deux a deux distincts.
a) On suppose par l'exemple que a=b. Démontrer que: aBA + (1-a)B'A' = vecteur nul
b) En déduire que pour toute valeur de a, BA et B'A' sont colinéaires.
c) Conclure.
4) On considère le point M défini par: OM = (a/a-b)OA - (b/a-B)OB.
a) Démontrer que AM= (b/a-b)BA. Que peut-on en conclure pour les points A, B et M?
b) En utilisant la relation de la question 1, démontrer que: (a-b)OM = (a-1)OA' - (b-1)OB'.
c) Démontrer que M est un point de la droite (A'B').
d) En déduire que (a-b)OI = aOA - bOB.
5) Donner, sans démonstration, les égalités analogues vérifiées par les points J et K.
6) Alignement de I, J et K.
a) Calculer (a-b)OI + (c-a)OJ + (b-c)OK.
b) Conclure.
Les réponses à partir de la question 3)-a Svp.
3 droites (d1), (d2) et (d3) sont concourantes en un point O.
A et A' sont 2 points de (d1), B et B' de (d2) et C et C' de (d3).
On suppose que, les droites (AB) et (A'B') sont sécantes en I, les droites (AC) et (A'C') sont sécantes en J et les droites (BC) et (B'C') sont sécantes en K.
On cherche à démontrer le théorème de Desargues, c'est-à-dire que les points I, J et K sont alignés.
(OA, OA', AA', OB, OB', BB', ... sont des vecteurs)
1) Justifier l'existence de 3 réels a, b et c tels que: OA'= aAA', OB'= bBB' et OC'= cCC'
2) Prouver que avec l'aide de la question 1: aOA + (1-a)OA'= bOB + (1-b)OB' = cOC + (1-c)OC' = vecteur nul
3) On souhaite démontrer que les réels a,b et c sont deux a deux distincts.
a) On suppose par l'exemple que a=b. Démontrer que: aBA + (1-a)B'A' = vecteur nul
b) En déduire que pour toute valeur de a, BA et B'A' sont colinéaires.
c) Conclure.
4) On considère le point M défini par: OM = (a/a-b)OA - (b/a-B)OB.
a) Démontrer que AM= (b/a-b)BA. Que peut-on en conclure pour les points A, B et M?
b) En utilisant la relation de la question 1, démontrer que: (a-b)OM = (a-1)OA' - (b-1)OB'.
c) Démontrer que M est un point de la droite (A'B').
d) En déduire que (a-b)OI = aOA - bOB.
5) Donner, sans démonstration, les égalités analogues vérifiées par les points J et K.
6) Alignement de I, J et K.
a) Calculer (a-b)OI + (c-a)OJ + (b-c)OK.
b) Conclure.
Les réponses à partir de la question 3)-a Svp.
1 Réponse
-
1. Réponse charlesetlou
Je te fais déjà ce que j'ai fait:
1.(d1),(d2),(d3) sont concourantes en O , donc O appartient à (d1) , à (d2) et à (d3)
A et A' appartiennent à (d1) donc O,A,A' appartiennent tous les 3 à (d1)
Si 3 points appartiennent à la même droite , alors ils sont alignés
donc O,A,A' alignés donc OA'=aAA' avec a réel différent de 0
Même raisonnement pour O,B,B' appartenant à (d2) donc alignés et O,C,C' appartenant à (d3) donc alignés :OB'=bOB et OC'=cOC
2.(1-a)OA'=(1-a).a.AA' car OA'=aAA'
aOA=a(OA'+A'A)=a(aAA'+A'A)
Donc (1-a)OA'+aOA=a(1-a)AA'+a(aAA'+A'A)
=aAA'-acarréAA'+acarréAA'-aAA' j'ai utilisé le fait que vecteurA'A=-vecteurAA'
=vecteur NUL
Donc identique pour démontrer que bOB+(1-b)OB'=0
3.a)a=b
La réponse à la question 2) permet de dire : aOA+(1-a)OA'=O(vecteur nul) (1)
et aOB+(1-a)OB'=O car a=b (2)
(1)-(2) donne a(OA-OB)+(1-a)(OA'-OB')=O
a(OA+BO)+(1-a)(OA'+B'O)=O
a(BO+OA)+(1-a)(B'O+OA')=O
aBA+(1-a)B'A'=O
aBA=(a-1)B'A'
BA=(a-1)/a B'A'
3.b)donc BA et B'A' SONT COLINEAIRES donc (AB)//(A'B')
4.OM =(a/a-b) OA - (b/a-b)OB
4.a)AM=AO+OM
=AO+(a/a-b)OA - (b/a-b) OB
=AO - (a/a-b) AO - (b/a-b)(OA+AB)
=AO -(a/a-b) AO + (b/a-b) AO -(b/a-b) AB
=AO (1 -a/a-b +b/a-b) - (b/a-b) AB
=AO (a-b-a+b/a-b) - (b/a-b) AB
=O - (b/a-b) AB
=(b/a-b) BA
DONC AM=(-b/a-b) AB donc A, B , M alignés car AB et AM colinéaires
4.b) OM=(a/a-b)OA -(b/a-b)OB
Donc (a-b)OM=aOA-bOB
=a (OA'+A'A) -b (OB'+B'B)
=a OA' +a A'O/a -b OB' -b B'O/b j'ai utilisé OA'=aAA' et OB'=bBB'
=a OA'+A'O -bOB'-B'O
=aOA' -OA' -B OB' +OB'
=(a-1) OA' +(1-b) OB'
Donc (a-b) OM = (a-1) OA' + (1-b) OB'
Pour le reste , laisse moi le temps ^^
Voilà déjà :)