Bonjour, J'aurais besoin d'aide en math si vous pourriez m'aider s'il vous plaît. (Voir pièce jointe) Merci.

Réponse :

Explications étape par étape :

■ Fn(x) = x³ - 2nx + 1 sur [ 0 ; +1 ]

   on note que x est toujours positif sur l' intervalle d' étude [ 0 ; 1 ]

   on note également que n est un entier naturel

■ dérivée F ' (x) = 3x² - 2n

   cette dérivée est positive pour x² > 2n/3

■ cas n ≥ 2 :

  F ' (x) est positive pour x² ≥ 2n/3

  d' où F ' (x) est positive pour x ≥ √(2n/3)

  tableau de variation :

       x -->   0         0,5            1

F ' (x) -->          négative

   F(x) -->   1       1,125-n     2-2n

■ cas n= 1 :

   F ' (x) est positive pour x ≥ √(2/3)

  tableau de variation :

           x -->   0         √(2/3)≈0,8165          1

    F ' (x) -->        -                0         +

       F(x) -->   1                 -0,09                 0

■ cas n = 0 :

        x -->   0               0,5                    1

 F ' (x) -->            toujours positive

    F(x) -->   1               1,125                  2    

■ 2°) F(0) = 1 ; et F(0,5) = 1,125-n qui est négatif

        comme la fonction F est toujours continue

        et décroissante sur l' intervalle étudié [ 0 ; 1 ]

        --> on peut admettre qu' il existe bien

        une valeur précise de x appelée " a "

        telle que F(a) = 0

        ( Théorème des Valeurs Intermédiaires ♥ )

■ 3°) exemple avec n = 3 :

       F(0) = 1 ; et F(0,5) = -1,875

       on trouve F(0,16744919) ≈ 0 ( grâce à la Casio25 ! ☺ )

       d' où 0,167 < a < 0,168

                0,280 < a² < 0,281

                0,004 < a³ < 0,005

■ comparaison a^n et 1/n :

  exemple pour n = 3 :

   1/3 > a³